Determine as retas tangentes com inclinação igual a -32.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de equações paramétricas que descrevem uma curva:
l x=2 cos (t) y=3 sen(t), 0 <= t <= 2 pi
Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes a essa curva que têm inclinação igual a -32. Basicamente, queremos saber em quais pontos da curva a inclinação da reta que toca a curva (a tangente) é -32.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva definida por equações paramétricas. A inclinação dydx pode ser encontrada usando as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t :
dydx = dydtdxdt
Vamos calcular dxdt e dydt :
dxdt = ddt[2 cos(t)] = -2 sin(t)
dydt = ddt[3 sin(t)] = 3 cos(t)
Então, a inclinação da tangente fica:
dydx = 3 cos(t)-2 sin(t) = -32 cot(t)
Passo 3
Queremos que a inclinação dydx seja igual a -32. Então, igualamos e resolvemos para t :
-32 cot(t) = -32
Simplificando ambos os lados:
cot(t) = 1
Sabemos que cot(t) = 1 quando t = pi4 e t = 5pi4 dentro do intervalo 0 <= t <= 2pi .
Passo 4
Agora, encontramos os valores de t que satisfazem a condição: t = pi4 e t = 5pi4 .
Vamos encontrar as coordenadas (x, y) correspondentes a esses valores de t :
Para t = pi4 :
x = 2 cos(pi4) = 2 cdot raiz22 = raiz2
y = 3 sin(pi4) = 3 cdot raiz22 = 3raiz22
Para t = 5pi4 :
x = 2 cos(5pi4) = 2 cdot (-raiz22) = -raiz2
y = 3 sin(5pi4) = 3 cdot (-raiz22) = -3raiz22
Passo 5
Agora que temos os pontos de tangência (raiz2, 3raiz22) e (-raiz2, -3raiz22) , vamos usar a fórmula da equação da reta com inclinação m e passando pelo ponto (x0, y0) :
y - y0 = m (x - x0)
Sabemos que m = -32 .
Para o primeiro ponto (raiz2, 3raiz22) :
y - 3raiz22 = -32 (x - raiz2)
Para o segundo ponto (-raiz2, -3raiz22) :
y + 3raiz22 = -32 (x + raiz2)
Resposta
As retas tangentes com inclinação igual a -32 são: