Calcule os seguintes limites
lim x infty x^2+3 e^3 xe^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty x^2+3 e^3 xe^3 x. Esse exercício está na matéria de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como cada termo se comporta quando x fica muito grande, ou seja, quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar só para o numerador: x^2 + 3 e^3x. Aqui temos dois termos: x^2, que é uma função polinomial, e 3 e^3x, que é uma função exponencial. É importante saber que, conforme x aumenta, funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções polinomiais.

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador e^3x. Fazendo isso, temos:
x^2e^3x + 3 e^3xe^3x = x^2e^3x + 3

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente:
  • x^2e^3x: Aqui, x^2 cresce, mas e^3x cresce muito mais rápido. Então, quando x tende ao infinito, essa fração vai para 0.
  • 3: Essa é uma constante, então permanece igual.

Passo 5

Juntando as duas partes, temos:
lim x infty ( x^2e^3x + 3 ) = 0 + 3 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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