Determine o volume do sólido limitado superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4, inferiormente pelo plano z=0 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1.
Obs: deixe os cálculos mais simples e organizados, para uma pessoa leiga possa entender.

Passo 1

Beleza, vamos determinar o volume desse sólido que está limitado por três superfícies:
  • Superiormente: uma esfera dada por x^2 + y^2 + z^2 = 4 .
  • Inferiormente: o plano z = 0 .
  • Lateralmente: um cilindro definido por x^2 + y^2 = 1 .
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do problema facilita as contas nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Elas são úteis quando temos simetria em torno do eixo z . As coordenadas são representadas por (r, theta, z) , onde:
  • r é a distância radial do ponto ao eixo z ,
  • theta é o ângulo ao redor do eixo z ,
  • z é a altura.
Nesse sistema, as expressões ficam mais simples:
  • A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 vira r^2 + z^2 = 4 .
  • O cilindro x^2 + y^2 = 1 vira r = 1 .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • Para r : O cilindro limita r a 1, então 0 <= r <= 1 .
  • Para theta : Como não há restrição angular, 0 <= theta <= 2pi .
  • Para z : Está entre o plano z = 0 e a esfera z = raiz4 - r^2 .

Passo 4

Vamos montar a integral que representa o volume:
V = integral0^2pi integral0^1 integral0^raiz4 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, r , dz , dr , dtheta é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z :
integral0^raiz4 - r^2 dz = raiz4 - r^2
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^1 r cdot raiz4 - r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja u = 4 - r^2 , então du = -2r , dr , ou r , dr = -12 du .
Mudando os limites:
  • Quando r = 0 , u = 4 .
  • Quando r = 1 , u = 3 .
A integral em r fica:
integral0^1 r cdot raiz4 - r^2 , dr = -12 integral4^3 raizu , du = 12 integral3^4 raizu , du
Integrando raizu :
12 cdot [ 23 u^3/2 ]3^4 = 13 (4^3/2 - 3^3/2)
Calculando:
4^3/2 = 8 e 3^3/2 = 3raiz3
Então:
13 (8 - 3raiz3)

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a theta :
V = integral0^2pi 13 (8 - 3raiz3) , dtheta = 13 (8 - 3raiz3) cdot 2pi = 2pi3 (8 - 3raiz3)

Resposta

O volume do sólido é V = 2pi3 (8 - 3raiz3) unidades cúbicas.

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