Determine o volume do sólido limitado superiormente pela esfera
, inferiormente pelo plano
e lateralmente pelo cilindro
.
Obs: deixe os cálculos mais simples e organizados, para uma pessoa leiga possa entender.
Obs: deixe os cálculos mais simples e organizados, para uma pessoa leiga possa entender.
Passo 1
Beleza, vamos determinar o volume desse sólido que está limitado por três superfícies:
- Superiormente: uma esfera dada por
. - Inferiormente: o plano
. - Lateralmente: um cilindro definido por
.
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do problema facilita as contas nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Elas são úteis quando temos simetria em torno do eixo
. As coordenadas são representadas por
, onde:
-
é a distância radial do ponto ao eixo , -
é o ângulo ao redor do eixo , -
é a altura.
Nesse sistema, as expressões ficam mais simples:
- A esfera
vira . - O cilindro
vira .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração:
- Para
: O cilindro limita a 1, então . - Para
: Como não há restrição angular, . - Para
: Está entre o plano e a esfera .
Passo 4
Vamos montar a integral que representa o volume:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então
, ou
.
Seja
Mudando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
A integral em
fica:
Integrando
:
Calculando:
Então:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.