Calcule as integrais abaixo
integral tan (x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral tan(x) , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função tangente em uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de x pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de x:
tan(x) = sin(x)cos(x)
Então, podemos reescrever a integral assim:
integral tan(x) , dx = integral sin(x)cos(x) , dx

Passo 3

Agora, para integrar sin(x)cos(x), vamos fazer uma substituição simples. Vamos definir:
u = cos(x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
Isso significa que sin(x) , dx = -du.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sin(x)cos(x) , dx = integral -duu = -integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u:
-integral 1u , du = -ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u de volta por cos(x):
-ln|cos(x)| + C
Também podemos escrever isso usando a função secante, já que sec(x) = 1cos(x):
ln|sec(x)| + C

Resposta

A integral de tan(x) é:
integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C ou ln|sec(x)| + C

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