Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função tangente em uma forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente de
pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de
:
Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, para integrar
, vamos fazer uma substituição simples. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta por
:
Também podemos escrever isso usando a função secante, já que
:
Resposta
A integral de
é: