Use o método de substituição para determinar as seguintes integrais:
integral sec (t) tan (t)1+sec ^2(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec(t),tan(t)1+sec^2(t),dt
usando substituição. Como vemos sec(t) no denominador e sua derivada sec(t)tan(t) no numerador, uma escolha natural é fazer
u = sec(t)

Passo 2

Derivando u=sec(t) obtemos
du = sec(t),tan(t),dt,
ou seja, o numerador sec(t)tan(t),dt vai virar du. Além disso o denominador 1+sec^2(t) passa a ser 1+u^2. Portanto a integral em t transforma-se em
integral du1+u^2

Passo 3

Agora usamos a fórmula clássica
integral du1+u^2 = arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Basta voltar à variável original: como u=sec(t), a antiderivada fica
arctanl(sec(t)r) + C

Resposta

arctan(sec(t)) + C

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