Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
s+1(s^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de
F(s)=s+1(s^2+1)^2
usando o teorema da convolução. O conteúdo aqui é que, se F(s)=H(s),G(s), então
L^-1F(s)(t) =integral0^th(u),g(t-u),du,
onde h(t)=L^-1H(s) e g(t)=L^-1G(s).

Passo 2

Escrevemos
F(s) =s+1(s^2+1)^2 =s+1s^2+1,cdot1s^2+1 =H(s),G(s)
Agora
H(s)=s+1s^2+1 =ss^2+1+1s^2+1,
então
h(t) =L^-1!ss^2+1(t) +L^-1!1s^2+1(t) =cos t+sin t,
e
g(t) =L^-1!1s^2+1(t) =sin t

Passo 3

Pelo teorema da convolução:
f(t)=L^-1F(s)(t) =integral0^th(u),g(t-u),du =integral0^tl(cos u+sin ur),sin(t-u),du
Vamos separar em duas integrais:
I1=integral0^tcos u,sin(t-u),du, I2=integral0^tsin u,sin(t-u),du

Passo 4

Para I1, use a identidade sin(t-u)=sin tcos u-cos tsin u:
I1 =integral0^tl(sin tcos^2u-cos tcos usin ur)du =sin tintegral0^tcos^2u,du -cos tintegral0^tsin ucos u,du
Sabemos
integral0^tcos^2u,du =t2+sin(2t)4, integral0^tsin ucos u,du =sin^2t2
Substituindo,
I1 =sin tl(t2+sin(2t)4r) -cos tcdotsin^2t2 =t2sin t +sin tsin(2t)4 -sin^2tcos t2
Usando sin(2t)=2sin tcos t, o termo do meio vira
tfrac2sin^2tcos t4=tfracsin^2tcos t2,
que cancela com o último, sobrando
I1=t2sin t
Para I2, use sin usin(t-u)=tfrac12[cos(t-2u)-cos t]:
I2 =12integral0^tl[cos(t-2u)-cos tr]du =12l[-tfrac12sin(t-2u)|0^t-tcos tr] =12l(sin t-tcos tr)

Passo 5

Somando I1+I2:
f(t) =t2sin t +12l(sin t-tcos tr) =12l(tsin t+sin t-tcos tr)

Resposta

boxedf(t)=12,l(tsin t+sin t -tcos tr)

Exercícios relacionados