Calcule as integrais abaixo.
integral sen(3 x) cos (5 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin(3x)cos(5x),dx
O conteúdo principal aqui é usar a identidade de produto-para-soma em funções trigonométricas e depois integrar cada termo resultante.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(A)cos(B)=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Tomando A=3x e B=5x, temos
sin(3x)cos(5x) =tfrac12l[sin(3x+5x)+sin(3x-5x)r] =tfrac12l[sin(8x)+sin(-2x)r] =tfrac12l[sin(8x)-sin(2x)r]
Logo
integral sin(3x)cos(5x),dx =tfrac12integrall[sin(8x)-sin(2x)r],dx

Passo 3

Agora separamos em duas integrais conhecidas:
integral sin(8x),dx=-tfrac18cos(8x) e integral sin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)
Portanto
tfrac12integrall[sin(8x)-sin(2x)r],dx =tfrac12l(-tfrac18cos(8x)-l(-tfrac12cos(2x)r)r)+C

Passo 4

Bastaq simplificar os coeficientes:
tfrac12l(-tfrac18cos(8x)+tfrac12cos(2x)r) =-tfrac116cos(8x)+tfrac14cos(2x)+C

Resposta

integral sin(3x)cos(5x),dx =-tfrac116cos(8x)+tfrac14cos(2x)+C

Exercícios relacionados