integral2^3 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral2^3 ln x , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a integração de funções logarítmicas. Para resolver isso, precisamos saber como integrar a função ln x em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar ln x, podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher u = ln x e dv = dx. Então, precisamos encontrar du e v:
du = 1x dx
v = integral dx = x
Agora, aplicando a fórmula:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, então temos:
integral ln x , dx = x ln x - x + C

Passo 3

Agora que sabemos a antiderivada de ln x, podemos calcular a integral definida de 2 a 3. Aplicando os limites de integração na expressão que encontramos:
[ x ln x - x ]2^3 = (3 ln 3 - 3) - (2 ln 2 - 2)
Vamos simplificar essa expressão:
3 ln 3 - 3 - 2 ln 2 + 2 = 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

Resposta

integral2^3 ln x , dx = 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

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