Calcule
integral0^1 raiz1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
$$I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} , dx,
$$que cai no conteúdo de integrais de funções radicais. Vamos usar substituição hiperbólica para simplificar a raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = sinh t,
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dx = cosh t, dt
e
raiz1 + x^2 = raiz1 + sinh^2t = cosh t
Quando x=0, temos t=0; quando x=1, temos t=arsinh(1)=ln(1+raiz2). Assim a integral vira
I = integral0^ln(1+raiz2) cosh^2t , dt

Passo 3

Para integrar cosh^2t, usamos a identidade hiperbólica
cosh^2t = 1 + cosh(2t)2
Então
integral cosh^2t , dt = integral 1 + cosh(2t)2 , dt = 12t + 12cdotsinh(2t)2 + C = t2 + sinh t,cosh t2 + C

Passo 4

Volta-se à variável x e avalia-se de t=0 até t=ln(1+raiz2). Como
sinhl(ln(1+raiz2)r)=1, coshl(ln(1+raiz2)r)=raiz2,
temos
I = l[sinh t,cosh t2 + t2r]0^ln(1+raiz2) = 1cdotraiz22 + 12ln(1+raiz2) - 0

Passo 5

Portanto, o valor da integral é dado por

Resposta

raiz22 + 12ln(1+raiz2)

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