Estude o sinal das expressões
(-x+1)(x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente estudar o sinal da expressão (-x+1)(x-3). Aqui estamos lidando com álgebra, mais especificamente com o estudo de sinais de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde cada fator muda de sinal e analisar os intervalos formados por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. A expressão (-x + 1)(x - 3) pode ser reescrita como -(x - 1)(x - 3). Isso nos ajuda a visualizar melhor os fatores que influenciam o sinal da expressão.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de x que fazem com que cada fator seja zero, pois nesses pontos a expressão muda de sinal.
  • Para o fator (x - 1) = 0, temos x = 1.
  • Para o fator (x - 3) = 0, temos x = 3.
Esses valores dividem a reta dos números reais em três intervalos: x < 1, 1 < x < 3 e x > 3.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo.
  1. Intervalo x < 1:
    • (x - 1): Se x é menor que 1, então (x - 1) é negativo.
    • (x - 3): Se x é menor que 3, então (x - 3) também é negativo.
    • O produto desses dois negativos dá um positivo. Mas lembre-se do sinal negativo que está na frente da expressão simplificada -(x - 1)(x - 3). Então, o sinal final é negativo.
  2. Intervalo 1 < x < 3:
    • (x - 1): Se x está entre 1 e 3, então (x - 1) é positivo.
    • (x - 3): Se x está entre 1 e 3, então (x - 3) é negativo.
    • O produto de um positivo e um negativo dá um negativo. Com o sinal negativo na frente, o sinal final é positivo.
  3. Intervalo x > 3:
    • (x - 1): Se x é maior que 1, então (x - 1) é positivo.
    • (x - 3): Se x é maior que 3, então (x - 3) é positivo.
    • O produto de dois positivos dá um positivo. Com o sinal negativo na frente, o sinal final é negativo.

Resposta

Resumindo, o sinal da expressão (-x+1)(x-3) é:
  • Negativo para x < 1
  • Positivo para 1 < x < 3
  • Negativo para x > 3

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