Calcule as Integrais abaixo
integralpi / 8^pi / 6 3 sec ^4 2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralpi/8^pi/63sec^4(2t),dt
O conteúdo é integração por substituição e uso da primitiva de sec^4x. Vamos precisar fazer u-substituição para eliminar o 2t e depois encontrar uma antiderivada de sec^4u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2t, du = 2,dtLongrightarrow dt = tfrac12,du
Quando t=pi/8, u=2cdotpi/8=pi/4.
Quando t=pi/6, u=2cdotpi/6=pi/3.
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integralpi/8^pi/63sec^4(2t),dt = integralu=pi/4^u=pi/33sec^4ucdottfrac12,du = 32integralpi/4^pi/3sec^4u,du

Passo 3

Para integrar sec^4u, usamos v=tan u, pois dv=sec^2u,du.
Então
sec^4u,du = sec^2ucdotsec^2u,du = (1+tan^2u),dv = (1+v^2),dv
Assim
integralsec^4u,du = integral(1+v^2),dv = v+v^33+C = tan u + tan^3u3+C

Passo 4

Voltando à integral definida:
32integralpi/4^pi/3sec^4u,du = 32l[tan u + tan^3u3r]pi/4^pi/3
Em u=pi/3, tan(pi/3)=raiz3, então
tan u + tan^3u3 = raiz3 + (raiz3)^33 = raiz3 + 3raiz33 = 2raiz3
Em u=pi/4, tan(pi/4)=1, então
tan u + tan^3u3 = 1 + 13 = 43
A diferença é
2raiz3 - 43 = 6raiz3 - 43,
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32cdot6raiz3 - 43 = 32cdot6raiz3 - 43 = 6raiz3 - 42 = 3raiz3 - 2

Resposta

3raiz3 - 2

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