Calcule as Integrais abaixo
integralpi / 6^pi / 4 cotg^3 w d w

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
integralpi/6^pi/4cot^3 w,dw.
O conteúdo aqui é integração de potências de cotangente. Vamos usar a identidade
cot^2 w = csc^2 w - 1 para reescrever o integrando.

Passo 2

Aplicando a identidade temos
integral cot^3 w,dw = integral l(cot w,csc^2 w - cot wr),dw = integral cot w,csc^2 w,dw ;-; integral cot w,dw

Passo 3

Para a parcela integral cot w,csc^2 w,dw usamos a substituição
t=cot w, daí dt=-csc^2 w,dw. Logo
integral cot w,csc^2 w,dw = -integral t,dt = -t^22 = -cot^2 w2

Passo 4

Para a parcela integral cot w,dw lembramos que
ddw[ln(sin w)]=cot w. Portanto
integral cot w,dw = lnl|sin wr|

Passo 5

Juntando ambos os resultados, um antiderivado de cot^3 w é
F(w) ;=; -cot^2 w2;-;lnl|sin wr|;+;C

Passo 6

Agora avaliamos de pi/6 a pi/4.
Em w=pi/4:
cot(pi/4)=1, sin(pi/4)=tfracraiz22, então
F(tfracpi4) = -tfrac12 ;-; ln!l(tfracraiz22r) = -tfrac12 + tfrac12,ln 2
Em w=pi/6:
cot(pi/6)=raiz3, sin(pi/6)=tfrac12, logo
F(tfracpi6) = -tfrac32 ;-; ln!l(tfrac12r) = -tfrac32 + ln 2
Subtracting gives
F(tfracpi4) - F(tfracpi6) = l(-tfrac12 + tfrac12ln 2r) - l(-tfrac32 + ln 2r) = 1 - tfrac12ln 2

Resposta

1 - tfrac12ln 2

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