Sejam
holomorfa e
domínio. Assuma que existe
tal que
. Então, f é constante.
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos uma função holomorfa
definida em um domínio
no conjunto dos números complexos
. Sabemos que existe um ponto
em
onde o módulo de
é positivo e é menor ou igual ao módulo de
para todo
em
. Queremos mostrar que, sob essas condições, a função
é constante.
Para resolver isso, vamos usar princípios da análise complexa, especificamente o Princípio do Módulo Mínimo e propriedades das funções holomorfas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser holomorfa. Uma função
é holomorfa em
se ela é complexamente diferenciável em todos os pontos de
. Isso implica que
é analítica, ou seja, pode ser representada por uma série de potências em torno de qualquer ponto de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Princípio do Módulo Mínimo. Esse princípio diz que se uma função holomorfa não constante atinge o seu mínimo módulo dentro de um domínio, então a função deve ser constante nesse domínio. Em outras palavras, se existe um ponto interno onde
é menor ou igual ao módulo em todos os outros pontos do domínio e esse mínimo é positivo, então a função não pode variar, ou seja, ela é constante.
Passo 4
No enunciado do exercício, é dado que existe um ponto
tal que
para todo
. Isso significa que
é o menor valor que
assume no domínio
e que esse valor é positivo.
Passo 5
Aplicando o Princípio do Módulo Mínimo, já que
é holomorfa e atinge seu mínimo módulo em um ponto interno do domínio
, concluímos que
deve ser constante em todo o domínio
.
Resposta
Portanto, a função
é constante em
.