Sejam f: U C holomorfa e U domínio. Assuma que existe a in U tal que 0<|f(a)| <=|f(z)|, forall z subset U. Então, f é constante.

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos uma função holomorfa f definida em um domínio U no conjunto dos números complexos C . Sabemos que existe um ponto a em U onde o módulo de f(a) é positivo e é menor ou igual ao módulo de f(z) para todo z em U . Queremos mostrar que, sob essas condições, a função f é constante.
Para resolver isso, vamos usar princípios da análise complexa, especificamente o Princípio do Módulo Mínimo e propriedades das funções holomorfas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser holomorfa. Uma função f: U C é holomorfa em U se ela é complexamente diferenciável em todos os pontos de U . Isso implica que f é analítica, ou seja, pode ser representada por uma série de potências em torno de qualquer ponto de U .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Princípio do Módulo Mínimo. Esse princípio diz que se uma função holomorfa não constante atinge o seu mínimo módulo dentro de um domínio, então a função deve ser constante nesse domínio. Em outras palavras, se existe um ponto interno onde |f(z)| é menor ou igual ao módulo em todos os outros pontos do domínio e esse mínimo é positivo, então a função não pode variar, ou seja, ela é constante.

Passo 4

No enunciado do exercício, é dado que existe um ponto a in U tal que 0 < |f(a)| <= |f(z)| para todo z in U . Isso significa que |f(a)| é o menor valor que |f(z)| assume no domínio U e que esse valor é positivo.

Passo 5

Aplicando o Princípio do Módulo Mínimo, já que f é holomorfa e atinge seu mínimo módulo em um ponto interno do domínio U , concluímos que f deve ser constante em todo o domínio U .

Resposta

Portanto, a função f é constante em U .

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