Seja
um polinômio não constante. Mostre que
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos um polinômio
que mapeia números complexos em números complexos e que não é constante. Precisamos mostrar que, conforme o valor de
tende ao infinito, o módulo de
também tende ao infinito. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e análise complexa, especificamente o comportamento de polinômios de grau maior que zero quando a variável tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a forma geral de um polinômio não constante em
:
onde
e
. O grau do polinômio é
.
Passo 3
Quando analisamos o comportamento de
para
muito grande, os termos de menor grau (como
,
, etc.) tornam-se negligenciáveis em comparação com o termo de maior grau
.
Passo 4
Então, para valores grandes de
, podemos aproximar
por:
Isso porque, conforme
, o termo
domina os outros termos.
Passo 5
Calculando o módulo de
, temos:
Como
é uma constante positiva e
, conforme
,
.
Passo 6
Portanto, concluímos que: