Seja P: C C um polinômio não constante. Mostre que lim z +infty|P(z)|=+infty

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um polinômio P que mapeia números complexos em números complexos e que não é constante. Precisamos mostrar que, conforme o valor de z tende ao infinito, o módulo de P(z) também tende ao infinito. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e análise complexa, especificamente o comportamento de polinômios de grau maior que zero quando a variável tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a forma geral de um polinômio não constante em C :
P(z) = an z^n + an-1 z^n-1 + dots + a0
onde an neq 0 e n >= 1 . O grau do polinômio é n .

Passo 3

Quando analisamos o comportamento de P(z) para |z| muito grande, os termos de menor grau (como an-1 z^n-1 , an-2 z^n-2 , etc.) tornam-se negligenciáveis em comparação com o termo de maior grau an z^n .

Passo 4

Então, para valores grandes de z , podemos aproximar P(z) por:
P(z) approx an z^n
Isso porque, conforme |z| to infty , o termo an z^n domina os outros termos.

Passo 5

Calculando o módulo de P(z) , temos:
|P(z)| approx |an||z|^n
Como |an| é uma constante positiva e n >= 1 , conforme |z| to infty , |z|^n to infty .

Passo 6

Portanto, concluímos que:
lim z +infty |P(z)| = +infty

Resposta

lim z +infty |P(z)| = +infty

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