Calcule as integrais abaixo
integral x^5+x^4-8x^3-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^5 + x^4 - 8x^3 - 4x,dx
Trata-se de uma função racional cujo numerador tem grau maior que o denominador, então vamos primeiro fazer a divisão de polinômios e em seguida usar frações parciais para integrar o resto.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^5 + x^4 - 8 por x^3 - 4x obtemos
x^5 + x^4 - 8x^3 - 4x = x^2 + x + 4 + 4x^2 + 16x - 8x^3 - 4x

Passo 3

Notando que x^3-4x = x(x-2)(x+2), decompondo em frações parciais:
4x^2 + 16x - 8x(x-2)(x+2) = Ax + Bx-2 + Cx+2
Multiplicando por x(x-2)(x+2) e igualando coeficientes, achamos
A = 2, B = 5, C = -3
Logo
x^5 + x^4 - 8x^3 - 4x = x^2 + x + 4 + 2x + 5x-2 - 3x+2

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral x^2,dx = x^33, integral x,dx = x^22, integral 4,dx = 4x,
integral 2x,dx = 2lnl|xr|, integral 5x-2,dx = 5lnl|x-2r|, integral -3x+2,dx = -3lnl|x+2r|

Resposta

integral x^5 + x^4 - 8x^3 - 4x,dx = x^33 + x^22 + 4x + 2lnl|xr| + 5lnl|x-2r| - 3lnl|x+2r| + C

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