Calcule as integrais abaixo
integral 1(x-1)^2(x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral 1(x-1)^2(x-2),dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de frações parciais, que permite decompor a função racional em termos mais simples de integrar.

Passo 2

Assumimos a decomposição
1(x-1)^2(x-2) =Ax-2+Bx-1+C(x-1)^2

Passo 3

Multiplicando por (x-1)^2(x-2), obtemos
1 = A,(x-1)^2 + B,(x-1)(x-2) + C,(x-2)
Para determinar A e C, usamos valores convenientes:
  • Se x=2, fica 1 = Acdot1^2, logo A=1.
  • Se x=1, fica 1 = C,(1-2) = -C, logo C=-1.

Passo 4

Para achar B, expandimos e igualamos coeficientes. Após comparar termos em x^2, x e constante, chega-se em
B = -1

Passo 5

Substituindo A, B e C na decomposição, temos
1(x-1)^2(x-2) =1x-2-1x-1-1(x-1)^2
Agora integramos termo a termo:
integral 1x-2,dx = lnl|x-2r|, integral -1x-1,dx = -lnl|x-1r|, integral -1(x-1)^2,dx = 1x-1

Resposta

lnl|x-2r|-lnl|x-1r|+1x-1+C

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