Calcule as integrais abaixo
integral x-8x^3-4 x^2+4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x-8x^3-4x^2+4x,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, que envolve fatorar o denominador e escrever a função como soma de frações simples para integrar cada termo.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^3-4x^2+4x. Observamos um fator comum x e reconhecemos um quadrado perfeito:
x^3-4x^2+4x = x,(x^2-4x+4) = x,(x-2)^2

Passo 3

Como o denominador é x,(x-2)^2, propomos a decomposição
x-8x,(x-2)^2 = Ax + Bx-2 + C(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por x,(x-2)^2, obtemos a igualdade de numeradores:
x-8 = A,(x-2)^2 + B,x,(x-2) + C,x

Passo 4

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Da terceira equação . Substituindo em , isto é , logo .

Passo 5

Substituindo A=-2, B=2, C=-3 na decomposição, a integral vira
integral l(-2x + 2x-2 - 3(x-2)^2r),dx
Integramos termo a termo:
integral -2x,dx = -2lnlvert xrvert, integral 2x-2,dx = 2lnlvert x-2rvert, integral -3(x-2)^2,dx = -3integral (x-2)^-2dx = 3x-2
Somando, obtemos a primitiva.

Resposta

-2lnlvert xrvert + 2lnlvert x-2rvert + 3x-2 + C

Exercícios relacionados