Determine integralegral triplaT f(x, y, z) d V, em que:
f(x, y, z)=x y z ; T situa-se abaixo da superfície z=1-x^2 e acima do retângulo -1 <= x <= 1,0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral triplaT x,y,z ,dV
onde T é o sólido “debaixo” da superfície
z = 1 - x^2
e “em cima” do retângulo no plano xy dado por
-1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2
O conteúdo aqui é a mudança de ordem de integração em integrais triplas e observação de simetria (função ímpar).

Passo 2

Descriminamos os limites de T. Como T está abaixo de z=1-x^2 e acima do retângulo, temos
-1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= 1 - x^2
Logo montamos
integral triplaT x,y,z,dV =integralx=-1^1integraly=0^2integralz=0^,1-x^2x,y,z;dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^1-x^2z,dz =z^22|0^,1-x^2 =(1-x^2)^22
Fica então
integralx=-1^1integraly=0^2x,y,(1-x^2)^22;dy,dx

Passo 4

Agora a integração em y:
integral0^2y,dy =y^22|0^2 =2
Substituindo obtém-se
integralx=-1^1x,(1-x^2)^2,dx

Passo 5

Expandindo o integrando dá
x,(1 - 2x^2 + x^4) = x - 2x^3 + x^5,
que é função ímpar. Integrando uma função ímpar em [-1,1] resulta em zero, pois as áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

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