Calcule as integrais abaixo
integral x^2+2 x+1x^4+2 x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral\r
integral x^2+2x+1x^4+2x^2+1,dx\r
Aqui o conteúdo é integração de fração racional. Percebemos que o denominador é\r
;x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2\r
Vamos aproveitar isso reescrevendo o numerador de forma a simplificar a divisão.

Passo 2

Note que\r
;x^2+2x+1 = (x^2+1) + 2x\r
Logo\r

Passo 3

Assim a integral original se separa em duas:\r
integral 1x^2+1,dx ;+;2integral x(x^2+1)^2,dx

Passo 4

A primeira parte é clássica:\r
integral 1x^2+1,dx = arctan x

Passo 5

Para a segunda, fazemos a substituição u=x^2+1, de modo que du=2x,dx. Então\r
\r
Multiplicando por 2:\r
2integral x(x^2+1)^2,dx = -1x^2+1

Passo 6

Somando os resultados:\r
arctan x ;-;1x^2+1+C

Resposta

boxedintegral x^2+2x+1x^4+2x^2+1,dx = arctan x - 1x^2+1 + C

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