Calcule as integrais abaixo
integral 1x^2+2 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1x^2+2x+5,dx
Esse é um caso clássico de integral de função racional cuja parte quadrática no denominador não se anula (não tem raízes reais). Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e usar a fórmula básica
integral 1u^2+a^2,du = 1aarctan!l(uar) + C

Passo 2

Completar o quadrado em x^2+2x+5. Observe que
x^2+2x+5 = (x^2+2x+1) + 4 = (x+1)^2 + 4
Logo, o denominador fica na forma (x+1)^2 + 2^2.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = x + 1, du = dx
Então a integral vira
integral 1(x+1)^2 + 2^2,dx = integral 1u^2 + 2^2,du

Passo 4

Aplicamos a fórmula
integral 1u^2+a^2,du = 1aarctan!l(uar) + C
com a=2. Assim obtemos
integral 1u^2+2^2,du = 12,arctan!l(u2r) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = x+1. Logo a primitiva é
12,arctan!l(x+12r) + C

Resposta

integral 1x^2+2x+5,dx = 12,arctan!l(x+12r) + C

Exercícios relacionados