Resolva o seguinte problema usando os seus conhecimentos a respeito de transformada Z.
Você abre uma conta de investimento em um banco e estabelece o seguinte perfil de aplicação:
- Depósito inicial (abertura da conta) de R$1.000,00;
- A cada mês subsequente ao depósito inicial você se compromete com você mesmo (não com o banco) a depositar R$1.000,00 adicionais;
- A cada mês o banco lhe paga um rendimento de
sobre o saldo que havia na sua conta no final do mês anterior.
Assumindo que
representa o saldo de sua conta bancária ao final do mês
, determine a expressão analítica para o valor de seu saldo em função do número n de meses. Considere
o mês do depósito inicial (abertura da conta). Com essa expressão, determine o saldo ao final do
mês (
).
Obs. Utilize duas casas decimais na resposta.
Você abre uma conta de investimento em um banco e estabelece o seguinte perfil de aplicação:
Assumindo que
Obs. Utilize duas casas decimais na resposta.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo investimentos no banco e queremos descobrir quanto dinheiro você vai ter após um certo número de meses. Vamos usar a Transformada Z para resolver isso. Precisamos entender como os depósitos mensais e os rendimentos de 1% por mês afetam o saldo da sua conta ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que está acontecendo todo mês:
- Você deposita R$1.000,00 no início (mês
). - A partir do mês seguinte (
), você adiciona mais R$1.000,00 todo mês. - O banco te dá um rendimento de 1% sobre o saldo do mês anterior.
Vamos chamar o saldo no final do mês
de
.
Passo 3
Agora, vamos montar uma equação de recorrência que descreve como o saldo evolui a cada mês. No mês
, o saldo é igual ao saldo do mês anterior mais o rendimento de 1% sobre esse saldo, mais o novo depósito de R$1.000,00. Matematicamente, fica assim:
Aqui, 1.01 representa o crescimento de 1% (ou seja, 100% + 1%) do saldo anterior.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos aplicar a Transformada Z. Primeiro, aplicamos a transformada em ambos os lados da equação:
Aqui,
é a transformada Z de
. A segunda parte,
, vem da transformada do termo constante
.
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
Fatorando
:
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos fazer a transformada inversa de Z para encontrar
. Podemos usar a fração parcial para simplificar:
Resolvendo para
e
, encontramos:
Então,
Aplicando a transformada inversa:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos verificar o saldo no mês
, que corresponde a
:
Calculando
:
Então,
Resposta
O saldo ao final do
mês é de R$17.387,99.