Resolva o seguinte problema usando os seus conhecimentos a respeito de transformada Z.
Você abre uma conta de investimento em um banco e estabelece o seguinte perfil de aplicação:
  • Depósito inicial (abertura da conta) de R$1.000,00;
  • A cada mês subsequente ao depósito inicial você se compromete com você mesmo (não com o banco) a depositar R$1.000,00 adicionais;
  • A cada mês o banco lhe paga um rendimento de sobre o saldo que havia na sua conta no final do mês anterior.
    Assumindo que representa o saldo de sua conta bancária ao final do mês , determine a expressão analítica para o valor de seu saldo em função do número n de meses. Considere o mês do depósito inicial (abertura da conta). Com essa expressão, determine o saldo ao final do mês ( ).
    Obs. Utilize duas casas decimais na resposta.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo investimentos no banco e queremos descobrir quanto dinheiro você vai ter após um certo número de meses. Vamos usar a Transformada Z para resolver isso. Precisamos entender como os depósitos mensais e os rendimentos de 1% por mês afetam o saldo da sua conta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que está acontecendo todo mês:
  • Você deposita R$1.000,00 no início (mês ).
  • A partir do mês seguinte ( ), você adiciona mais R$1.000,00 todo mês.
  • O banco te dá um rendimento de 1% sobre o saldo do mês anterior.
Vamos chamar o saldo no final do mês de .

Passo 3

Agora, vamos montar uma equação de recorrência que descreve como o saldo evolui a cada mês. No mês , o saldo é igual ao saldo do mês anterior mais o rendimento de 1% sobre esse saldo, mais o novo depósito de R$1.000,00. Matematicamente, fica assim:
Aqui, 1.01 representa o crescimento de 1% (ou seja, 100% + 1%) do saldo anterior.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos aplicar a Transformada Z. Primeiro, aplicamos a transformada em ambos os lados da equação:
Y(z) = 1.01 cdot z^-1 Y(z) + 10001 - z^-1
Aqui, Y(z) é a transformada Z de y(n). A segunda parte, 10001 - z^-1, vem da transformada do termo constante 1000.

Passo 5

Vamos resolver a equação para Y(z):
Y(z) - 1.01 cdot z^-1 Y(z) = 10001 - z^-1
Fatorando Y(z):
Y(z) cdot (1 - 1.01 cdot z^-1) = 10001 - z^-1
Então, isolando Y(z):
Y(z) = 1000(1 - z^-1) (1 - 1.01 z^-1)

Passo 6

Agora, vamos fazer a transformada inversa de Z para encontrar y(n). Podemos usar a fração parcial para simplificar:
Y(z) = 1000(1 - z^-1)(1 - 1.01 z^-1) = A1 - z^-1 + B1 - 1.01 z^-1
Resolvendo para A e B, encontramos:
A = 10001 - 1.01 = -100000
B = 10001.01 - 1 = 101000
Então,
Y(z) = -1000001 - z^-1 + 1010001 - 1.01 z^-1
Aplicando a transformada inversa:
y(n) = -100000 cdot 1^n + 101000 cdot (1.01)^n
Simplificando:
y(n) = 101000 cdot (1.01)^n - 100000

Passo 7

Agora, vamos verificar o saldo no mês 16, que corresponde a n = 15:
y(15) = 101000 cdot (1.01)^15 - 100000
Calculando (1.01)^15:
(1.01)^15 approx 1.16079
Então,
y(15) = 101000 cdot 1.16079 - 100000 approx 117387.99 - 100000 = 17387.99

Resposta

O saldo ao final do 16^circ mês é de R$17.387,99.

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