Filtros digitais são sistemas que executam funções de processamento de sinal, especificamente para atenuar características indesejadas de uma faixa de frequência, evidenciar características do sinal ou ambos. O procedimento para filtragem de sinais é feito por meio de uma convolução.
Levando em conta que a resposta ao impulso de um filtro digital é especificada pela função h[n] e o sinal de entrada é a ser filtrado é dado por x[n]. O número marcado é o valor correspondente a n=0.
x[n]=[5,7,1]
h[n]=[1,3,3]
Na operação y[n]=x[n]*h[n], qual o valor da amostra y[0]?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre filtros digitais e convolução! A gente tem dois sinais: o sinal de entrada x[n] = [5, 7, 1] e a resposta ao impulso do filtro h[n] = [1, 3, 3] . O que a gente precisa descobrir é o valor da amostra y[0] quando fazemos a operação de convolução y[n] = x[n] * h[n] .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convolução. Convolução é uma operação matemática que combina dois sinais para produzir um terceiro sinal. No contexto de filtros digitais, ela ajuda a modificar o sinal de entrada de acordo com as características do filtro.
A fórmula da convolução é:
y[n] = sumk=-infty^infty x[k] cdot h[n - k]
Mas, como nossos sinais são finitos e definidos para n = 0, 1, 2 , a soma fica mais simples.

Passo 3

Vamos calcular y[0] . Substituindo n = 0 na fórmula da convolução:
y[0] = x[0] cdot h[0] + x[-1] cdot h[1] + x[-2] cdot h[2]
Agora, precisamos considerar que x[-1] e x[-2] são zero, porque os sinais só têm valores para n = 0, 1, 2 .

Passo 4

Então, simplificando:
y[0] = x[0] cdot h[0] + 0 cdot h[1] + 0 cdot h[2] = 5 cdot 1 + 0 + 0 = 5

Resposta

O valor da amostra y[0] é 5.

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