Determine o domínio de
, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de
, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a função
e determinar
- o domínio de
, - as assíntotas verticais e horizontais,
- os intervalos em que
é crescente ou decrescente e os extremos locais, - os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão,
- por fim, esboçar o gráfico.
Vamos usar limites para as assíntotas e derivadas de primeira e segunda ordem para monotonia, extremos e concavidade.
Passo 2
Para achar o domínio, notamos que o denominador não pode ser zero, logo
Para a assíntota vertical, estudamos o limite em
:
Assim,
é assíntota vertical.
Para as assíntotas horizontais, calculamos
Para as assíntotas horizontais, calculamos
logo
é assíntota horizontal.
Passo 3
Calculamos a derivada de primeira ordem escrevendo
Os críticos ocorrem quando
, isto é,
.
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Para
, e , então . - Para
, e , então . - Para
, e , então .
Logoé decrescente em e em , crescente em . Em há troca de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local
Passo 4
Para a concavidade, derivamos novamente:
O sinal de
vem de
, pois
sempre.
- Se
(e ), então e : concavidade para baixo. - Se
, então e : concavidade para cima.
Há ponto de inflexão em, com
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
- No ramo
, decresce de (logo acima de zero negativo) até em , sempre côncava para baixo. - Em
, sai de em , cresce, corta o eixo em e atinge um máximo local , continuando côncava para baixo até . - Em
, decresce de para em , agora côncava para cima.
As assíntotas são(vertical) e (horizontal).
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas: vertical;
horizontal.
Monotonia e extremos:
Assíntotas:
Monotonia e extremos:
máximo local em
com
.
Concavidade e inflexão:
Concavidade e inflexão:
ponto de inflexão em
.
Gráfico conforme descrição acima.
Gráfico conforme descrição acima.