Determine o domínio de f, as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, máximos e mínimos locais de f, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico de f.
f(x)=x-1x^2

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a função
f(x)=x-1x^2
e determinar
  1. o domínio de f,
  2. as assíntotas verticais e horizontais,
  3. os intervalos em que f é crescente ou decrescente e os extremos locais,
  4. os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão,
  5. por fim, esboçar o gráfico.
    Vamos usar limites para as assíntotas e derivadas de primeira e segunda ordem para monotonia, extremos e concavidade.

Passo 2

Para achar o domínio, notamos que o denominador não pode ser zero, logo
Domínio=xinRmid xneq0 í
Para a assíntota vertical, estudamos o limite em xto0:
limxto0^pmf(x) =limxto0^pmx-1x^2 =-infty
Assim, x=0 é assíntota vertical.
Para as assíntotas horizontais, calculamos
limxtopminftyf(x) =limxtopminftyx-1x^2 =0,
logo y=0 é assíntota horizontal.

Passo 3

Calculamos a derivada de primeira ordem escrevendo
f(x)=x^-1-x^-2 Longrightarrow f'(x)=-x^-2+2x^-3=2-xx^3
Os críticos ocorrem quando f'(x)=0, isto é, x=2.
Analisando o sinal de f'(x):
  • Para x<0, 2-x>0 e x^3<0, então f'<0.
  • Para 0<x<2, 2-x>0 e x^3>0, então f'>0.
  • Para x>2, 2-x<0 e x^3>0, então f'<0.
    Logo f é decrescente em (-infty,0) e em (2,infty), crescente em (0,2). Em x=2 há troca de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local
f(2)=2-12^2=14

Passo 4

Para a concavidade, derivamos novamente:
f'(x)=2x^-3-x^-2, f''(x)=-6x^-4+2x^-3 =2(x-3)x^4
O sinal de f''(x) vem de x-3, pois x^4>0 sempre.
  • Se x<3 (e xneq0), então x-3<0 e f''<0: concavidade para baixo.
  • Se x>3, então x-3>0 e f''>0: concavidade para cima.
    Há ponto de inflexão em x=3, com
f(3)=3-19=29

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
  • No ramo x<0, f decresce de 0^- (logo acima de zero negativo) até -infty em xto0^-, sempre côncava para baixo.
  • Em (0,2), f sai de -infty em xto0^+, cresce, corta o eixo x em x=1 e atinge um máximo local l(2,tfrac14r), continuando côncava para baixo até x=3.
  • Em (3,infty), decresce de tfrac14 para 0^+ em xtoinfty, agora côncava para cima.
    As assíntotas são x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

Resposta

Domínio: Rsetminus0.
Assíntotas: x=0 vertical; y=0 horizontal.
Monotonia e extremos:
f'!!<0 em (-infty,0), f'!>0 em (0,2), f'!<0 em (2,infty);
máximo local em x=2 com f(2)=tfrac14.
Concavidade e inflexão:
f''!<0 em (-infty,3), f''!>0 em (3,infty);
ponto de inflexão em l(3,tfrac29r).
Gráfico conforme descrição acima.

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