Calcule as integrais abaixo
integral duplaB x y e^2 x^2-y^2 d x d y, B=[-1,1] times[0,1];

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você enviou! O exercício pede para calcular a integral de x y e^2 x^2-y^2 sobre a região B = [-1,1] times [0,1]. Para isso, vamos usar conceitos de integrais duplas e ver se conseguimos simplificar a expressão para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular como essa pode ser separada em duas integrais simples. Ou seja, podemos escrever:
integral duplaB x y e^2 x^2-y^2 , dx , dy = ( integral-1^1 x e^2x^2 , dx ) times ( integral0^1 y e^-y^2 , dy )

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral-1^1 x e^2x^2 , dx.
Aqui, percebemos que a função x e^2x^2 é uma função ímpar, porque se substituirmos x por -x, a função muda de sinal:
f(-x) = (-x) e^2(-x)^2 = -x e^2x^2 = -f(x)
Em integrais, quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem (como [-1,1]), o resultado é sempre zero.
Então:
integral-1^1 x e^2x^2 , dx = 0

Passo 4

Agora, como a primeira integral deu zero, não precisamos calcular a segunda integral, porque qualquer número multiplicado por zero é zero. Mas, só para completar, vamos dar uma olhada rápida na segunda integral:
integral0^1 y e^-y^2 , dy
Essa integral não é zero, mas como está multiplicando por zero, o resultado final da integral dupla será zero.

Resposta

A integral dupla vale 0.

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