Calcule as integrais abaixo
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você enviou! O exercício pede para calcular a integral de
sobre a região
. Para isso, vamos usar conceitos de integrais duplas e ver se conseguimos simplificar a expressão para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular como essa pode ser separada em duas integrais simples. Ou seja, podemos escrever:
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral:
.
Aqui, percebemos que a função
é uma função ímpar, porque se substituirmos
por
, a função muda de sinal:
Em integrais, quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem (como
), o resultado é sempre zero.
Então:
Passo 4
Agora, como a primeira integral deu zero, não precisamos calcular a segunda integral, porque qualquer número multiplicado por zero é zero. Mas, só para completar, vamos dar uma olhada rápida na segunda integral:
Essa integral não é zero, mas como está multiplicando por zero, o resultado final da integral dupla será zero.
Resposta
A integral dupla vale
.