Calcule as integrais abaixo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde a região B é definida por
. Vamos resolver isso passo a passo. Primeiro, vamos entender sobre integrais duplas e como identificar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região B. A desigualdade
define uma região no plano XY. Para facilitar, vamos completar o quadrado na parte de y:
Então, a desigualdade fica:
Isso representa um círculo com centro em (0, 1) e raio 1.
Passo 3
Agora que sabemos que a região B é um círculo de raio 1 centrado em (0, 1), podemos visualizar melhor. A equação polar pode facilitar os cálculos, mas vamos ver se conseguimos simplificar antes.
Observe que a função que estamos integrando é
. Vamos pensar nas propriedades dessa função em relação à simetria da região B.
Passo 4
A função
é uma função ímpar em relação ao eixo Y porque se substituirmos
por
, a função muda de sinal:
A região B é simétrica em relação ao eixo Y, já que o círculo está centrado em (0, 1) e o eixo Y divide o círculo ao meio de forma simétrica.
Passo 5
Quando temos uma função ímpar (como
) integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo que torna a função ímpar (neste caso, o eixo Y), a integral total será zero. Isso porque as contribuições de
positivas e negativas se cancelam.
Passo 6
Portanto, sem precisar calcular a integral explicitamente, podemos concluir que: