Calcule as integrais abaixo
integral duplaB x y dxdy, B=(x, y) ; x^2+y^2-2 y <= 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaB x y , dx dy, onde a região B é definida por x^2 + y^2 - 2y <= 0. Vamos resolver isso passo a passo. Primeiro, vamos entender sobre integrais duplas e como identificar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A desigualdade x^2 + y^2 - 2y <= 0 define uma região no plano XY. Para facilitar, vamos completar o quadrado na parte de y:
x^2 + y^2 - 2y = x^2 + (y^2 - 2y) = x^2 + (y - 1)^2 - 1
Então, a desigualdade fica:
x^2 + (y - 1)^2 - 1 <= 0 implies x^2 + (y - 1)^2 <= 1
Isso representa um círculo com centro em (0, 1) e raio 1.

Passo 3

Agora que sabemos que a região B é um círculo de raio 1 centrado em (0, 1), podemos visualizar melhor. A equação polar pode facilitar os cálculos, mas vamos ver se conseguimos simplificar antes.
Observe que a função que estamos integrando é x y. Vamos pensar nas propriedades dessa função em relação à simetria da região B.

Passo 4

A função x y é uma função ímpar em relação ao eixo Y porque se substituirmos x por -x, a função muda de sinal:
(-x) y = -x y
A região B é simétrica em relação ao eixo Y, já que o círculo está centrado em (0, 1) e o eixo Y divide o círculo ao meio de forma simétrica.

Passo 5

Quando temos uma função ímpar (como x y) integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo que torna a função ímpar (neste caso, o eixo Y), a integral total será zero. Isso porque as contribuições de x positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Portanto, sem precisar calcular a integral explicitamente, podemos concluir que:

Resposta

integral duplaB x y , dx dy = 0

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