Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo. Verifique o resultado, calculando ambas as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais duplas! A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dada e depois calcular ambas as integrais para verificar se estão corretas. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem das variáveis e saber como resolver integrais duplas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral original:
Aqui, a integração está sendo feita primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração no plano
. A região está definida por:
Podemos reescrever a segunda desigualdade para encontrar os limites de
em termos de
:
Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Note que os limites de
vão de
a
porque
implica
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral original:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, o que simplifica a integral para:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral com a ordem invertida:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Ambas as integrais resultam em
. Portanto, a integral invertida está correta e confirma o mesmo valor.