Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo. Verifique o resultado, calculando ambas as integrais
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais duplas! A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dada e depois calcular ambas as integrais para verificar se estão corretas. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem das variáveis e saber como resolver integrais duplas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral original:
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y , dx , dy
Aqui, a integração está sendo feita primeiro em relação a x de -raiz4 - 2y^2 a raiz4 - 2y^2, e depois em relação a y de 0 a raiz2.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração no plano xy . A região está definida por:
0 <= y <= raiz2
-raiz4 - 2y^2 <= x <= raiz4 - 2y^2
Podemos reescrever a segunda desigualdade para encontrar os limites de y em termos de x :
-raiz4 - 2y^2 <= x <= raiz4 - 2y^2 implies x^2 <= 4 - 2y^2 implies y^2 <= 4 - x^22
Portanto, y varia de 0 a raiz4 - x^22.

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral-2^2 integral0^raiz4 - x^22 y , dy , dx
Note que os limites de x vão de -2 a 2 porque 4 - x^2 >= 0 implica x^2 <= 4, ou seja, -2 <= x <= 2.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral original:
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y , dx , dy
Integrando em relação a x :
integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y , dx = y [ x ]-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 = y ( raiz4-2 y^2 - (-raiz4-2 y^2) ) = 2y raiz4 - 2y^2
Agora, integramos em relação a y :
integral0^raiz2 2y raiz4 - 2y^2 , dy
Fazendo a substituição u = 4 - 2y^2 , du = -4y , dy , o que simplifica a integral para:
- 12 integral4^2 raizu , du = 12 integral2^4 u^1/2 , du = 12 [ 23 u^3/2 ]2^4 = 13 ( 4^3/2 - 2^3/2 ) = 13 ( 8 - 2raiz2 ) = 8 - 2raiz23

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral com a ordem invertida:
integral-2^2 integral0^raiz4 - x^22 y , dy , dx
Integrando em relação a y :
integral0^raiz4 - x^22 y , dy = [ 12 y^2 ]0^raiz4 - x^22 = 12 ( 4 - x^22 ) = 4 - x^24
Agora, integramos em relação a x :
integral-2^2 4 - x^24 , dx = 14 integral-2^2 (4 - x^2) , dx = 14 [ 4x - x^33 ]-2^2 = 14 ( (8 - 83) - (-8 + 83) ) = 14 ( 16 - 163 ) = 14 ( 48 - 163 ) = 3212 = 83 - 2raiz23

Resposta

Ambas as integrais resultam em 8 - 2raiz23. Portanto, a integral invertida está correta e confirma o mesmo valor.

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