Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)
r(t)=lang<= t, e^-t, t e^-trang<=, 1 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva espaço-parametrizada
r(t)=lang<= t, e^-t, t,e^-trang<= para 1<= t<=3.
Este problema usa o conteúdo de comprimento de arco de uma curva no espaço, cuja fórmula é
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t) =llang<= 1,,-e^-t,,ddt(t,e^-t)rrang<= =lang<= 1,,-e^-t,,e^-t-t,e^-trang<=

Passo 3

O quadrado da norma é
l|r'(t)r|^2 =1^2+(-e^-t)^2+(e^-t-t,e^-t)^2 =1+e^-2tl[1+(1-t)^2r]
Logo
l|r'(t)r| =raiz1+e^-2tl(t^2-2t+2r)

Passo 4

O comprimento é a integral
L=integral1^3raiz1+e^-2tl(t^2-2t+2r),dt

Passo 5

Para aproximar com quatro casas decimais usamos a regra de Simpson com n=8 subintervalos de tamanho h=(3-1)/8=0,25.
Seja
f(t)=raiz1+e^-2tl(t^2-2t+2r)
Calculamos f em cada nó ti=1+0,25,i, i=0,dots,8, obtendo:
f0=f(1)=1,0656,
f1=f(1,25)=1,0429,
f2=f(1,5)=1,0307,
f3=f(1,75)=1,0233,
f4=f(2)=1,0182,
f5=f(2,25)=1,0142,
f6=f(2,5)=1,0109,
f7=f(2,75)=1,0083,
f8=f(3)=1,0062.
Aplicando Simpson:
Lapprox h3l[f0+f8+4(f1+f3+f5+f7)+2(f2+f4+f6)r] approx2,0455

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 2,0455.

Exercícios relacionados