Mostre que a função F(x)=tg(x) é uma primitiva da função f(x)=sec ^2(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
F(x)=tan(x)
é uma primitiva de
f(x)=sec^2(x)
Em outras palavras, precisamos provar que
F'(x)=f(x),
isto é, que
ddxtan(x)=sec^2(x)
O conteúdo usado será o cálculo de derivada de funções trigonométricas, especialmente da tangente, que podemos obter via regra do quociente.

Passo 2

Recordando a definição,
tan(x)=sin(x)cos(x)
Para derivar usamos a regra do quociente: se u(x)=sin(x) e v(x)=cos(x), então
ddxl(tfracuvr) =u',v - u,v'v^2

Passo 3

Vamos aplicar a regra do quociente:
u(x)=sin(x)implies u'(x)=cos(x),
v(x)=cos(x)implies v'(x)=-sin(x)
Portanto
ddxtan(x) =cos(x),cos(x)-sin(x),(-sin(x))cos^2(x) =cos^2(x)+sin^2(x)cos^2(x)

Passo 4

Como sabemos que
cos^2(x)+sin^2(x)=1,
segue que
ddxtan(x) =1cos^2(x) =sec^2(x)

Resposta

Como ddxtan(x)=sec^2(x), concluímos que tan(x) é de fato uma primitiva de sec^2(x).

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