Calcule as integrais abaixo.
(b) integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . Isso envolve integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

A integral de integral x sin y , dy = x ( -cos y ) + C = -x cos y + C em relação a é . Então, temos:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de -x cos(pi2) - (-x cos 0) = -x cdot 0 + x cdot 1 = x a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2 x , dx :
12(2)^2 - 12(0)^2 = 12(4) - 0 = 2
A integral de em relação a é . Aplicando os limites:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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