Calcule as integrais duplas abaixo.
(a) integral duplaR(y+x y^-2) d A, onde R=(x, y) ; 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla para calcular:
integral duplaR(y + x y^-2) , dA
A região está definida por e .
Aqui, a gente vai usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Para resolver isso, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis, primeiro com relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla. Ela pode ser escrita como duas integrais simples, uma dentro da outra. Podemos escrever:
integralx=0^2 integraly=1^2 (y + x y^-2) , dy , dx
Isso significa que vamos integrar a função em relação a , mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a y + x y^-2 . A função que vamos integrar é:
integral y , dy = 12 y^2
A integral de integral x y^-2 , dy = x integral y^-2 , dy = x (-y^-1) = -xy em relação a 12 y^2 - xy gr|1^2 é:
E a integral de em relação a é:
Então, a integral completa em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de (12 (2)^2 - x2) - (12 (1)^2 - x1) e 12 times 4 = 2 e 12 times 1 = 12 :
(2 - x2) - (12 - x) = 2 - x2 - 12 + x = 32 + x2
Calculando cada parte:
32 + x2
Substituindo:
Então, a integral em relação a resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^2 (32 + x2) , dx de 0 a 2:
32 integral0^2 dx + 12 integral0^2 x , dx
Vamos separar as integrais:
32 times (2 - 0) = 3
Calculando cada parte:
12 times (12 x^2) gr|0^2 = 12 times (12 times 4 - 0) = 12 times 2 = 1
E:
3 + 1 = 4
Somando os resultados:

Resposta

O valor da integral dupla é 4.

Exercícios relacionados