Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla para calcular:
A região está definida por e .
Aqui, a gente vai usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Para resolver isso, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis, primeiro com relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla. Ela pode ser escrita como duas integrais simples, uma dentro da outra. Podemos escrever:
Isso significa que vamos integrar a função em relação a , mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .
Passo 3
Vamos começar integrando com relação a . A função que vamos integrar é:
A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Então, a integral completa em relação a fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de (12 (2)^2 - x2) - (12 (1)^2 - x1) e 12 times 4 = 2 e 12 times 1 = 12 :
(2 - x2) - (12 - x) = 2 - x2 - 12 + x = 32 + x2
Calculando cada parte:
32 + x2
Substituindo:
Então, a integral em relação a resulta em:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^2 (32 + x2) , dx de 0 a 2:
32 integral0^2 dx + 12 integral0^2 x , dx
Vamos separar as integrais:
32 times (2 - 0) = 3
Calculando cada parte:
12 times (12 x^2) gr|0^2 = 12 times (12 times 4 - 0) = 12 times 2 = 1