Calcule as integrais duplas abaixo.
(b) integral duplaR x sen(x+y) d A, onde R=(x, y) ; 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região , onde . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e aplicar integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar primeiro em relação a integral0^2 integral1^2 x cdot sen(x + y) , dy , dx e depois em relação a . Então, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é com relação a integral1^2 x cdot sen(x + y) , dy :
Aqui, x integral1^2 sen(x + y) , dy é uma constante em relação a x integralx + 1^x + 2 sen(u) , du = x [ -cos(u) ]x + 1^x + 2 , então podemos fatorar:
Para integrar em relação a x ( -cos(x + 2) + cos(x + 1) ) = x ( cos(x + 1) - cos(x + 2) ) , fazemos uma substituição simples:
Deixe , então .
Os limites de integração mudam para:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:
Calculando os limites:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a integral0^2 x ( cos(x + 1) - cos(x + 2) ) , dx :
integral0^2 x cos(x + 1) , dx - integral0^2 x cos(x + 2) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral x cos(x + a) , dx = x sen(x + a) - integral sen(x + a) , dx = x sen(x + a) + cos(x + a) + C
Para resolver cada uma dessas integrais, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos integral0^2 x cos(x + 1) , dx = [ x sen(x + 1) + cos(x + 1) ]0^2 = 2 sen(3) + cos(3) - cos(1) e integral0^2 x cos(x + 2) , dx = [ x sen(x + 2) + cos(x + 2) ]0^2 = 2 sen(4) + cos(4) - cos(2) . Assim:
Aplicando isso às duas integrais:
  1. Para ( 2 sen(3) + cos(3) - cos(1) ) - ( 2 sen(4) + cos(4) - cos(2) ) :
  1. Para 2 sen(3) + cos(3) - cos(1) - 2 sen(4) - cos(4) + cos(2) :
Subtraindo as duas partes:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:

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