Calcule as integrais duplas abaixo.
(b)
, onde
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região
, onde
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e aplicar integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, a integral fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é com relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos fatorar:
Para integrar em relação a
, fazemos uma substituição simples:
Deixe
, então
.
Os limites de integração mudam para:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Calculando os limites:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Para resolver cada uma dessas integrais, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Assim:
Aplicando isso às duas integrais:
- Para
:
- Para
:
Subtraindo as duas partes:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é: