Seja
tal que
. Prove que
ou
.
Passo 1
Vamos resumir o que o problema pede: temos um número real
que satisfaz a equação
. Nosso objetivo é provar que
só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre equações quadráticas e fatoração.
Passo 2
Começamos com a equação dada:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos trazê-la para o formato padrão igualando-a a zero. Subtraia
de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a expressão:
Aqui, colocamos
em evidência, fatorando-o da expressão.
Passo 5
Aplicando a propriedade do produto nulo, sabemos que se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um deles deve ser zero. Assim, temos duas possibilidades:
-
-
⇒
Resposta
Portanto, as soluções para a equação
são
ou
.