Seja x em R tal que x \cdot x = x. Prove que x = 0 ou x = 1.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema pede: temos um número real que satisfaz a equação . Nosso objetivo é provar que só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre equações quadráticas e fatoração.

Passo 2

Começamos com a equação dada:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos trazê-la para o formato padrão igualando-a a zero. Subtraia de ambos os lados:

Passo 4

Agora, vamos fatorar a expressão:
Aqui, colocamos em evidência, fatorando-o da expressão.

Passo 5

Aplicando a propriedade do produto nulo, sabemos que se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um deles deve ser zero. Assim, temos duas possibilidades:

Resposta

Portanto, as soluções para a equação são ou .

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