Calcule as integrais abaixo considerando as regiões B descritas.
B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq z, 1 \leq y \leq 4\right. e \left.y \leq z \leq 4\right\}
\iiint_{B}\left(\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\right) d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iiint_{B}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dV
sobre a região
B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le z,\;1\le y\le4,\;y\le z\le4\}.
O que precisamos é usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada nas variáveis x, z e y.

Passo 2

Escolhendo a ordem dx\,dz\,dy, temos
\iiint_{B}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{y=1}^{4}\!\!\int_{z=y}^{4}\!\!\int_{x=0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx\,dz\,dy.
Primeiro, integramos em x:
\int_{0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição x = z\,t, dx = z\,dt, para t de 0 a 1,
\int_{0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{z}{z^{2}t^{2}+z^{2}}\;z\,dt =\int_{0}^{1}\frac{z^{2}}{z^{2}(t^{2}+1)}\,dt =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =\Bigl[\arctan(t)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Como o resultado da integral em x é constante ( \pi/4), a integral sobra
\int_{y=1}^{4}\int_{z=y}^{4}\frac{\pi}{4}\,dz\,dy =\frac{\pi}{4}\int_{y=1}^{4}\Bigl[\int_{z=y}^{4}dz\Bigr]dy =\frac{\pi}{4}\int_{y=1}^{4}(4-y)\,dy.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{1}^{4}(4-y)\,dy =\Bigl[4y-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\bigl(16-8\bigr)-\bigl(4-\tfrac12\bigr) =8-3{,}5 =4{,}5.
Multiplicando pelo fator \pi/4, obtemos
\frac{\pi}{4}\times4{,}5 =\frac{9\pi}{8}.

Resposta

\frac{9\pi}{8}.

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