Questão 01

Calcule:
\begin{aligned} & \int_{0}^{2} \int_{0}^{z^{2}} \int_{0}^{y-z}(2 x-y) d x d y d z \\\ & \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 z} \int_{0}^{\ln x} x e^{-y} d y d x d z \\\ & \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} \cos (x+y+z) d z d x d y \\\ & \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x z} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais triplas usando integração iterada. O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini, técnicas de integração de polinômios, exponenciais, cossenos e substituições simples. Em cada caso vamos integrar por partes internas até externas na ordem dada nos limites.

Passo 2

Integral 1:
I_1 = \int_{0}^{2}\int_{0}^{z^{2}}\int_{0}^{\,y-z}(2x - y)\,dx\,dy\,dz.
  1. Integramos em x:
\int_{0}^{y-z}(2x - y)\,dx = \bigl[x^{2} - yx\bigr]_{0}^{\,y-z} = (y-z)^{2} - y(y-z) = z^{2} - yz.
  1. Integramos em y:
\int_{0}^{z^{2}}(z^{2} - y\,z)\,dy = z^{2}\,z^{2} - z\cdot\frac{(z^{2})^{2}}{2} = z^{4} - \frac{z^{5}}{2}.
  1. Integramos em z:
\int_{0}^{2}\Bigl(z^{4} - \tfrac{z^{5}}{2}\Bigr)\,dz = \Bigl[\tfrac{z^{5}}{5} - \tfrac{z^{6}}{12}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{32}{5} - \frac{64}{12} = \frac{16}{15}.
Portanto, I_1 = \tfrac{16}{15}.

Passo 3

Integral 2:
I_2 = \int_{1}^{2}\int_{0}^{2z}\int_{0}^{\ln x} x\,e^{-y}\,dy\,dx\,dz.
  1. Integramos em y:
\int_{0}^{\ln x} x\,e^{-y}\,dy = x\bigl[-e^{-y}\bigr]_{0}^{\ln x} = x\bigl(-\tfrac1{x} + 1\bigr) = x - 1.
  1. Integramos em x:
\int_{0}^{2z}(x - 1)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2} - x\Bigr]_{0}^{2z} = 2z^{2} - 2z.
  1. Integramos em z:
\int_{1}^{2}(2z^{2} - 2z)\,dz = \Bigl[\tfrac{2z^{3}}{3} - z^{2}\Bigr]_{1}^{2} = \Bigl(\tfrac{16}{3}-4\Bigr) - \Bigl(\tfrac{2}{3}-1\Bigr) = \frac{5}{3}.
Logo, I_2 = \tfrac{5}{3}.

Passo 4

Integral 3:
I_3 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{y}\int_{0}^{x}\cos(x+y+z)\,dz\,dx\,dy.
  1. Integramos em z:
\int_{0}^{x}\cos(x+y+z)\,dz = \bigl[\sin(x+y+z)\bigr]_{0}^{x} = \sin(2x+y) - \sin(x+y).
  1. Integramos em x:
\int_{0}^{y}\bigl[\sin(2x+y) - \sin(x+y)\bigr]dx = \Bigl[-\tfrac{\cos(2x+y)}{2} + \cos(x+y)\Bigr]_{0}^{y} = \cos(2y) - \tfrac{\cos(3y)+\cos(y)}{2}.
  1. Integramos em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl[\cos(2y) - \tfrac{\cos(3y)+\cos(y)}{2}\Bigr]dy = 0 - \tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) - \tfrac{1}{2}(1) = -\tfrac{1}{3}.
Assim, I_3 = -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Integral 4:
I_4 = \int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\int_{0}^{xz}x^{2}\sin y\,dy\,dz\,dx.
  1. Integramos em y:
\int_{0}^{xz}x^{2}\sin y\,dy = x^{2}\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{xz} = x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr).
  1. Integramos em z (usar t=xz):
\int_{0}^{x}x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr)dz = x^{2}\Bigl[x - \frac{\sin(x^{2})}{x}\Bigr] = x^{3} - x\sin(x^{2}).
  1. Integramos em x (substituição u=x^{2} em \int x\sin(x^{2})dx):
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\bigl[x^{3} - x\sin(x^{2})\bigr]dx = \frac{\pi^{2}}{4} - 1.
Logo, I_4 = \frac{\pi^{2}}{4} - 1.

Resposta

I_1 = \tfrac{16}{15}.
I_2 = \tfrac{5}{3}.
I_3 = -\tfrac{1}{3}.
I_4 = \tfrac{\pi^{2}}{4} - 1.

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