Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função pela condição e tomando para o quadrado de vértices . .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é o quadrado de vértices , orientado positivamente, e adotamos o ramo de tal que .
Conteúdo principal: uso da Teoria de Cauchy para funções analíticas, localizando possíveis singularidades e garantindo que seja analítica em .
Passo 2
Precisamos verificar que é analítica em e dentro de . Como escolhemos o ramo de com corte no eixo real negativo do plano -complexo e , o único lugar onde é quando é real , isto é, puramente imaginário com . Essas retas verticais saindo de ficam fora do quadrado .
Logo, é analítica em todo interior e contorno de .
Passo 3
Agora localizamos as singularidades da parte racional, resolvendo
Pela fórmula de Bhaskara,
Temos então
Para escrevemos , de modo que
Assim as soluções são
Nenhuma delas está dentro do quadrado .
Passo 4
Como é analítica em e dentro de e o denominador não se anula em , a função inteira sob o integral é analítica em toda região limitada por C. Pelo Teorema de Cauchy, a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é zero.