Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função raizz^2+4 pela condição raiz4=-2 e tomando para C o quadrado de vértices pm 1 pm i.
ointC raizz^2+4z^2-2(1+i) z+4 i d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCraizz^2+4,z^2-2(1+i)z+4i,,dz
onde C é o quadrado de vértices pm1pm i, orientado positivamente, e adotamos o ramo de raizw tal que raiz4=-2.
Conteúdo principal: uso da Teoria de Cauchy para funções analíticas, localizando possíveis singularidades e garantindo que raizz^2+4 seja analítica em C.

Passo 2

Precisamos verificar que raizz^2+4 é analítica em e dentro de C. Como escolhemos o ramo de raizw com corte no eixo real negativo do plano w-complexo e raiz4=-2, o único lugar onde z^2+4in(-infty,0] é quando z^2 é real <= -4, isto é, z puramente imaginário com |Im z|>=2. Essas retas verticais saindo de pm2i ficam fora do quadrado x+iy:|x|<=1,;|y|<=1.
Logo, raizz^2+4 é analítica em todo interior e contorno de C.

Passo 3

Agora localizamos as singularidades da parte racional, resolvendo
z^2-2(1+i)z+4i=0
Pela fórmula de Bhaskara,
De<a = l[-2(1+i)r]^2-4cdot1cdot4i =4(1+2i-1)-16i =8i-16i=-8i
Temos então
z = 2(1+i)pmraiz-8i2 =(1+i)pmraiz-2i
Para raiz-2i escrevemos -2i=2e^-ipi/2, de modo que
raiz-2i=raiz2,e^-ipi/4=1-i (escolhendo esse sinal para compatibilizar o ramo)
Assim as soluções são
z1=(1+i)+(1-i)=2, z2=(1+i)-(1-i)=2i
Nenhuma delas está dentro do quadrado x+iy:|x|<=1,|y|<=1.

Passo 4

Como raizz^2+4 é analítica em e dentro de C e o denominador não se anula em zinC, a função inteira sob o integral é analítica em toda região limitada por C. Pelo Teorema de Cauchy, a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é zero.

Resposta

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