Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função raizz^2+4 pela condição raiz4=-2 e tomando para C o quadrado de vértices pm 1 pm i.
ointC z(2 z^2+1) raizz^2+4 d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ointC zl(2z^2+1r),raizz^2+4;dz
onde C é o quadrado de vértices pm1pm i, orientado positivamente, e a raiz é escolhida pela condição raiz4=-2. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, observando que o único lugar em que a função deixa de ser analítica dentro de C vem dos polos simples de 2z^2+1=0, pois os pontos de ramificação de raizz^2+4 estão em z=pm2i, fora do quadrado.

Passo 2

Identificamos os polos de f(z)=z(2z^2+1)raizz^2+4.
A equação 2z^2+1=0
z^2=-tfrac12 Longrightarrow z = pm iraiz2
Ambos os pontos pm i/raiz2 estão dentro do quadrado Re z,Im zin[-1,1].

Passo 3

O Teorema dos Resíduos diz
Como cada polo é simples (zero simples em ), a fórmula da resíduo é
Só que, pela escolha de ramo, em todo ponto onde é real positivo a raiz vale a negativa:

Passo 4

Para temos então
Como há dois polos com o mesmo resíduo, a soma é

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
ointCf(z),dz =2pi i;gl(-1raiz14gr) =-2pi iraiz14

Resposta

boxed ointC z(2z^2+1)raizz^2+4,dz =-2pi iraiz14

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