Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função
pela condição
e tomando para
o quadrado de vértices
.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o quadrado de vértices
, orientado positivamente, e a raiz é escolhida pela condição
. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, observando que o único lugar em que a função deixa de ser analítica dentro de
vem dos polos simples de
, pois os pontos de ramificação de
estão em
, fora do quadrado.
Passo 2
Identificamos os polos de
.
A equação dá
A equação
Ambos os pontos
estão dentro do quadrado
.
Passo 3
O Teorema dos Resíduos diz
Como cada polo é simples (zero simples em
), a fórmula da resíduo é
Só que, pela escolha de ramo, em todo ponto onde
é real positivo a raiz vale a negativa:
Passo 4
Para
temos então
Como há dois polos com o mesmo resíduo, a soma é
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos: