(Teorema de Moreira) Sejam Omega um aberto do plano complexo e f: Omega C uma função contínua. Suponha que
integralC f(z) d z=0
para toda curva fechada C contida em Omega. Mostre que f é holomorfa.

Passo 1

O enunciado é o Teorema de Morera: temos um aberto OmegasubsetC e uma função contínua f:OmegatoC tal que
integralC f(z),dz=0
para toda curva fechada C contida em Omega. Queremos mostrar que f é holomorfa, ou seja, que em cada ponto de Omega existe derivada complexa. Iremos construir localmente um primitivo de f e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções de variável complexa.

Passo 2

Escolha um ponto base z0inOmega. Para cada zinOmega, seja gamma qualquer curva em Omega que ligue z0 a z. Defina
F(z)=integralgammaf(w),dw
Como a integral de f sobre qualquer caminho fechado é zero, se gamma1 e gamma2 forem dois caminhos de z0 a z, então concatenar gamma1 com -gamma2 (o percurso contrário a gamma2) é uma curva fechada e
integralgamma1f - integralgamma2f = integralgamma1cup(-gamma2)f = 0
Logo integralgamma1f=integralgamma2f e F(z) está bem definido (independe do caminho).

Passo 3

Mostramos que F é diferenciável e que F'(z)=f(z). Para isso, tome zinOmega e h pequeno de modo que o segmento reto de z a z+h fique em Omega. Então
F(z+h)-F(z) =integralgammaz0to z+hf(w),dw -integralgammaz0to zf(w),dw =integral[z,z+h]f(w),dw,
pois o caminho de z0 a z+h pode ser visto como o de z0 a z seguido do segmento [z,z+h]. Assim
F(z+h)-F(z)h =1hintegral[z,z+h]l(f(w)-f(z)r),dw +f(z)
Como f é contínua em z, dado varepsilon>0 podemos fazer lvert f(w)-f(z)rvert<varepsilon para todo w no segmento quando h for suficientemente pequeno. Então
|1hintegral[z,z+h]l(f(w)-f(z)r),dw| <=varepsiloncdot |h||h| =varepsilon,
e isso prova que
limhto0F(z+h)-F(z)h=f(z)
Logo F é holomorfa em Omega e F'=f.

Passo 4

Como f é a derivada de uma função holomorfa F, concluímos que f propriamente é holomorfa em Omega.

Resposta

f é holomorfa em Omega.

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