(Teorema de Moreira) Sejam um aberto do plano complexo e uma função contínua. Suponha que
para toda curva fechada contida em . Mostre que é holomorfa.
Passo 1
O enunciado é o Teorema de Morera: temos um aberto e uma função contínua tal que
para toda curva fechada contida em . Queremos mostrar que é holomorfa, ou seja, que em cada ponto de existe derivada complexa. Iremos construir localmente um primitivo de e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções de variável complexa.
Passo 2
Escolha um ponto base . Para cada , seja qualquer curva em que ligue a . Defina
Como a integral de sobre qualquer caminho fechado é zero, se e forem dois caminhos de a , então concatenar com (o percurso contrário a ) é uma curva fechada e
Logo e está bem definido (independe do caminho).
Passo 3
Mostramos que é diferenciável e que . Para isso, tome e pequeno de modo que o segmento reto de a fique em . Então
pois o caminho de a pode ser visto como o de a seguido do segmento . Assim
Como é contínua em , dado podemos fazer para todo no segmento quando for suficientemente pequeno. Então
e isso prova que
limhto0F(z+h)-F(z)h=f(z)
Logo F é holomorfa em Omega e F'=f.
Passo 4
Como f é a derivada de uma função holomorfa F, concluímos que f propriamente é holomorfa em Omega.