Mostre que z=0 é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em z=0 para que ela fique regular nesse ponto.
ze^z-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que z=0 é singularidade removível da função
f(z)=ze^z-1
e determinar o valor a atribuir em z=0 para que fique regular. Vamos usar expansão em série de Taylor.

Passo 2

Expandindo e^z em série de Taylor em torno de zero:
e^z = sumn=0^inftyz^nn! = 1 + z + z^22 + z^36 + cdots,
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e^z-1 = z + z^22 + z^36 + cdots

Passo 3

Substituindo em f(z) temos
f(z) = ze^z-1 = zzl(1 + tfracz2 + tfracz^26 + cdotsr) = 11 + tfracz2 + tfracz^26 + cdots
Fazendo zto 0, obtemos
limzto 0 f(z) = 11 = 1
Como o limite é finito, z=0 é singularidade removível e definindo-se f(0)=1 a função fica regular em z=0.

Resposta

Definir f(0)=1.

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