Determine e esboce o domínio e a imagem da função.
f(x, y)=raiz1-x^2-raiz1-y^2;

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y)=raiz1-x^2-raiz1-y^2
O conteúdo envolvido é estudo de domínio de funções com radicais (precisamos exigir que o conteúdo de cada raiz seja não-negativo) e determinação de imagem usando os valores extremos dessas raízes.

Passo 2

Para a raiz raiz1-x^2 ser real precisamos de
1 - x^2 >= 0 Long<=ftrightarrow -1 <= x <= 1
Analogamente, para raiz1-y^2 real é necessário
-1 <= y <= 1
Logo o domínio é o quadrado fechado de vértices (pm1,pm1).

Passo 3

Observamos que para -1<= x<=1 vale
0 <= raiz1-x^2 <= 1
e idem para raiz1-y^2. Assim f(x,y) é a diferença de dois termos em [0,1], ou seja
f(x,y)=A-B, A,Bin[0,1]

Passo 4

O valor máximo de f ocorre quando A=raiz1-x^2 atinge 1 (em x=0) e B=raiz1-y^2 atinge 0 (em y=pm1), dando
max f = 1 - 0 = 1
O valor mínimo ocorre quando A=0 (em x=pm1) e B=1 (em y=0), dando
min f = 0 - 1 = -1
Portanto a imagem é o intervalo [-1,1].

Resposta

Domínio:
(x,y)inR^2mid -1<= x<=1,;-1<= y<=1,
um quadrado de vértices (pm1,pm1).
Imagem:
[-1,1],
um segmento na reta real de -1 a 1.

Exercícios relacionados