Seja a função f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
( 2,5 pontos) Verifique se fé de classe C^{1} em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é de classe C^{1} em (0,0). Para isso vamos (i) mostrar que f é contínua em (0,0), (ii) calcular \partial f/\partial x e \partial f/\partial y em (0,0) por definição, (iii) obter as derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) e (iv) checar se elas são contínuas em (0,0).]

Passo 2

Verificamos a continuidade em (0,0). Para (x,y)\neq(0,0) vale
|f(x,y)| = \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{x^{2}y^{2}}{2|x||y|} = \frac{|x||y|}{2} \le \frac{x^{2}+y^{2}}{4}.
Como \,x^{2}+y^{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que f(x,y)\to0=f(0,0). Logo, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h} =0,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k} =0.

Passo 4

Para (x,y)\neq(0,0) usamos a regra do quociente em \displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}. Assim,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x\cdot y^2\,(x^2+y^2)-x^2y^2\cdot2x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x\,y^4}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2y\,x^4}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Para mostrar que essas parciais são contínuas em (0,0), use coordenadas polares \,x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =2\,\frac{r\cos\theta\;\bigl(r\sin\theta\bigr)^{4}}{r^{4}} =2\,r\cos\theta\sin^{4}\theta \;\xrightarrow[r\to0]{}0,
que coincide com \partial f/\partial x(0,0)=0. De modo análogo \partial f/\partial y(x,y)\to0. Assim ambas as parciais são contínuas em (0,0).

Resposta

A função f é de classe C^{1} em (0,0).

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