Calcule a integral indefinida.
\int(3 t+2)^{2 . t} d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int (3t+2)^{2t}\,dt.
Aqui a base 3t+2 e o expoente 2t dependem de t, então vamos investigar se há algum artifício que leve a uma antiderivada em funções elementares (polinômios, exponencial, log, trigonométricas etc.).

Passo 2

Reescrevendo a potência como exponencial, temos
(3t+2)^{2t} \;=\;\exp\bigl(2t\ln(3t+2)\bigr).
Logo
\int (3t+2)^{2t}\,dt =\int \exp\bigl(2t\ln(3t+2)\bigr)\,dt.

Passo 3

Para integrar \exp\bigl(h(t)\bigr) por substituição, precisaríamos de h'(t) multiplicando a exponencial. Aqui
h(t)=2t\ln(3t+2), \quad h'(t)=2\ln(3t+2)+2t\cdot\frac{3}{3t+2},
e esse h'(t) não aparece como fator em \exp\bigl(h(t)\bigr). Pelo algoritmo de Risch (que decide se há primitiva elementar), esse é um sinal claro de que não existe antiderivada em termos de funções elementares.

Passo 4

Podemos, se quisermos, escrever a primitiva usando funções especiais (por exemplo, séries ou a integral exponencial \mathrm{Ei}), mas não há forma fechada em funções elementares.

Resposta

A função (3t+2)^{2t} não possui primitiva expressável em termos de funções elementares. Para um tratamento exato, usa-se representação por funções especiais (como a função exponencial integral), mas não há forma elementar.

Exercícios relacionados