Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{x^{5}}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função racional \displaystyle \int \frac{x^{5}}{x^{2}-1}\,dx.
Como o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (2), vamos primeiro usar divisão de polinômios para reescrever a integral.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{5} por (x^{2}-1), obtemos
\frac{x^{5}}{x^{2}-1} = x^{3} + x + \frac{x}{x^{2}-1}.
Portanto
\int \frac{x^{5}}{x^{2}-1}\,dx = \int x^{3}\,dx + \int x\,dx + \int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx.

Passo 3

As duas primeiras integrais são imediatas (integração de monômios):
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx usamos a substituição \displaystyle u = x^{2}-1, de onde \,du = 2x\,dx e \,x\,dx = \tfrac{du}{2}.
Assim,
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{1}{2}\ln\bigl|x^{2}-1\bigr|.

Passo 5

Somando todos os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x^{5}}{x^{2}-1}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl|x^{2}-1\bigr| + C.

Resposta

\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl|x^{2}-1\bigr| + C

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