Seja F uma função par, isto é, F(-x)=F(x). Se a função derivada de F for F^{\prime}(x)=f(x), f for contínua e \int_{b}^{a} f(x) d x=2, quanto valerá \int_{-a}^{-b} f(x) d x ?

Passo 1

O enunciado diz que F é uma função par F(-x)=F(x), cuja derivada é F'(x)=f(x), com f contínua, e que
\int_{b}^{a} f(x)\,dx = 2.
Precisamos calcular
\int_{-a}^{-b} f(x)\,dx.
Para isso usaremos a paridade de F (e, portanto, de f) e técnicas de mudança de variável em integrais.

Passo 2

Como F é par, temos
F(-x)=F(x).
Derivando ambos os lados em função de x, obtemos
F'(-x)\cdot(-1)=F'(x) \quad\Longrightarrow\quad f(-x)=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar.

Passo 3

Usamos a propriedade de troca de limites numa integral:
\int_{-a}^{-b} f(x)\,dx = -\int_{-b}^{-a} f(x)\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{-b}^{-a} f(x)\,dx, fazemos a substituição x=-t. Então dx=-dt e:
quando x=-b, t=b; quando x=-a, t=a. Logo,
\int_{-b}^{-a} f(x)\,dx = \int_{t=b}^{t=a} f(-t)\,(-dt) = \int_{b}^{a} \bigl(-f(t)\bigr)(-dt) = \int_{b}^{a} f(t)\,dt.
Mas sabemos que \displaystyle \int_{b}^{a} f(t)\,dt=2. Portanto
\int_{-b}^{-a} f(x)\,dx = 2.

Passo 5

Voltando à relação do Passo 3:
\int_{-a}^{-b} f(x)\,dx = -\int_{-b}^{-a} f(x)\,dx = -2.

Resposta

-2

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