Seja
uma função par, isto é,
. Se a função derivada de
for
for contínua e
, quanto valerá
?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma função par
, cuja derivada é
, com
contínua, e que
Precisamos calcular
Para isso usaremos a paridade de
(e, portanto, de
) e técnicas de mudança de variável em integrais.
Passo 2
Como
é par, temos
Derivando ambos os lados em função de
, obtemos
ou seja,
é uma função ímpar.
Passo 3
Usamos a propriedade de troca de limites numa integral:
Passo 4
Para calcular
, fazemos a substituição
. Então
e:
quando ,
; quando
,
. Logo,
quando
Mas sabemos que
. Portanto
Passo 5
Voltando à relação do Passo 3: