Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int x^{3} \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos uma função 4 - x^{2} dentro da raiz cuja derivada aparece (até um fator) junto com x.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 4 - x^{2},\qquad du = -2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.
Também escrevemos x^{3} = x^{2}\cdot x e usamos x^{2} = 4 - u. Assim
\int x^{3}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx = \int x^{2}\,\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{1/2}\,x\,dx = \int (4 - u)\,u^{1/2}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr).

Passo 3

Colocando o fator -\tfrac12 em evidência e distribuindo, obtemos
-\tfrac12\int\bigl(4u^{1/2} - u^{3/2}\bigr)\,du = -\tfrac12\Bigl[4\!\int u^{1/2}\,du \;-\;\int u^{3/2}\,du\Bigr].
Agora calculamos cada integral:
\int u^{1/2}\,du = \tfrac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{3/2}\,du = \tfrac{2}{5}u^{5/2}.

Passo 4

Substituindo de volta e simplificando os coeficientes, fica
-\tfrac12\Bigl[4\cdot\tfrac{2}{3}u^{3/2} - \tfrac{2}{5}u^{5/2}\Bigr] = -\tfrac{4}{3}u^{3/2} + \tfrac{1}{5}u^{5/2}.
Voltando a u = 4 - x^{2}, chegamos a
-\tfrac{4}{3}(4 - x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{5}(4 - x^{2})^{5/2} + C.

Resposta

\int x^{3}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx = -\tfrac{4}{3}(4 - x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{5}(4 - x^{2})^{5/2} + C.

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