Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{1}{1-\sqrt{x}} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{1}{1-\sqrt{x}}\,dx.
Para resolver, vamos usar a técnica de substituição que elimina a raiz no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x}, \quad x = t^2, \quad dx = 2t\,dt.
Substituindo em \displaystyle \int \frac{1}{1-\sqrt{x}}\,dx, fica
\int \frac{1}{1 - t}\;2t\,dt = \int \frac{2t}{1 - t}\,dt.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \frac{2t}{1-t}, fazemos divisão algébrica no numerador:
2t = -2(1 - t) + 2 \;\Longrightarrow\; \frac{2t}{1 - t} = -2 + \frac{2}{1 - t}.

Passo 4

A integral separa-se em duas mais simples:
\int \frac{2t}{1 - t}\,dt = \int \bigl(-2\bigr)\,dt + \int \frac{2}{1 - t}\,dt.
Calculamos cada parte:
\int (-2)\,dt = -2t,
\int \frac{2}{1 - t}\,dt = 2 \int \frac{1}{1 - t}\,dt = -2 \ln\bigl|1 - t\bigr|.

Passo 5

Somando e voltando à variável x (lembre que t = \sqrt{x}), obtemos
-2t - 2 \ln\bigl|1 - t\bigr| + C = -2\sqrt{x} \;-\; 2 \ln\bigl|1 - \sqrt{x}\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{1-\sqrt{x}}\,dx = -2\sqrt{x} \;-\; 2 \ln\bigl|1 - \sqrt{x}\bigr| + C.

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