Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
( 0,4 pts)
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas quatro curvas
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração: vamos achar os pontos de interseção para entender o contorno e depois montar integrais em
.
Passo 2
Calculemos as interseções dois a dois:
-
⇒ ⇒ . Ponto . -
⇒ ⇒ raiz real (não entra na região fechada que veremos). -
⇒ ⇒ raiz . Ponto . -
⇒ . Ponto . -
⇒ . Ponto .
Os vértices da região são, em ordem:
em
,
em
,
em
,
em
.
Passo 3
Entre
, a parte de baixo é
e a de cima é
.
Entre , a parte de baixo é
e a de cima é
.
Isso define duas integrais de área vertical.
Entre
Isso define duas integrais de área vertical.
Passo 4
A área total é
Passo 5
Calculemos
Passo 6
Calculemos
Passo 7
Somando as duas parcelas:
Resposta
A área da região é
.