Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=x^{3}, y=-x, y=x+2, y=-x+2 ( 0,4 pts)

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas quatro curvas
y = x^3,\quad y = -x,\quad y = x + 2,\quad y = -x + 2.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração: vamos achar os pontos de interseção para entender o contorno e depois montar integrais em x.

Passo 2

Calculemos as interseções dois a dois:
  1. x^3 = -x x(x^2+1)=0 x=0. Ponto (0,0).
  2. x^3 = x+2 x^3 - x - 2=0 ⇒ raiz real x\approx1,521 (não entra na região fechada que veremos).
  3. x^3 = -x+2 x^3 + x -2=0 ⇒ raiz x=1. Ponto (1,1).
  4. -x = x+2 x=-1. Ponto (-1,1).
  5. x+2 = -x+2 x=0. Ponto (0,2).
Os vértices da região são, em ordem: (0,0) em y=x^3\cap y=-x, (-1,1) em y=-x\cap y=x+2, (0,2) em y=x+2\cap y=-x+2, (1,1) em y=-x+2\cap y=x^3.

Passo 3

Entre -1\le x\le0, a parte de baixo é y=-x e a de cima é y=x+2.
Entre 0\le x\le1, a parte de baixo é y=x^3 e a de cima é y=-x+2.
Isso define duas integrais de área vertical.

Passo 4

A área total é
A = \int_{x=-1}^{0} \bigl[(x+2)-(-x)\bigr]\,dx + \int_{x=0}^{1}\bigl[(-x+2)-(x^3)\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculemos
A_1 = \int_{-1}^{0} \bigl(2x+2\bigr)\,dx = \Bigl[x^2+2x\Bigr]_{-1}^{0} = \bigl(0+0\bigr)-\bigl(1-2\bigr) = 1.

Passo 6

Calculemos
A_2 = \int_{0}^{1} \bigl(-x - x^3 + 2\bigr)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^4}{4}+2x\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(-\tfrac12-\tfrac14+2\bigr)-0 = \tfrac54.

Passo 7

Somando as duas parcelas:
A = A_1 + A_2 = 1 + \tfrac54 = \tfrac94.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac94.

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