Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int x \cdot \arctan \left(x^{2}\right) d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \,\arctan\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de funções compostas e usaremos dois métodos: primeiro substituição para simplificar o produto x\,dx com x^2, depois integração por partes para tratar \int \arctan(t)\,dt.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2}, \quad dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dt}{2}.
Isso transforma a integral em
\int x\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,\int \arctan(t)\,dt.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \arctan(t)\,dt, usamos integração por partes, escolhendo
U = \arctan(t), \quad dV = dt \;\Longrightarrow\; dU = \frac{dt}{1+t^{2}}, \quad V = t.
Logo
\int \arctan(t)\,dt = t\,\arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^{2}}\,dt.
E
\int \frac{t}{1+t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\,\ln\bigl(1+t^{2}\bigr).
Portanto
\int \arctan(t)\,dt = t\,\arctan(t) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+t^{2}\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à nossa integral com o factor \tfrac12:
\frac{1}{2}\,\int \arctan(t)\,dt = \frac{1}{2}\Bigl[t\,\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)\Bigr] + C.
Substituindo t = x^{2}:
\int x\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{1}{4}\,\ln\bigl(1+x^{4}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int x\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\arctan\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{1}{4}\,\ln\bigl(1+x^{4}\bigr) + C. }

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