Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}+2 y=r^{2}-1+1, \quad y(1)=1, \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y' + 2y = t^2,\quad y(1)=1,\quad t>0.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = t^2e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{2t}\bigr) = t^2e^{2t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{2t}\bigr)\,dt = \int t^2e^{2t}\,dt.
Para calcular \displaystyle \int t^2e^{2t}\,dt fazemos duas integrações por partes. O resultado é
\int t^2e^{2t}\,dt = \Bigl(\tfrac{t^2}{2}-\tfrac{t}{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr)e^{2t} + C.

Passo 4

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y\,e^{2t} = \Bigl(\tfrac{t^2}{2}-\tfrac{t}{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr)e^{2t} + C \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \tfrac{t^2}{2}-\tfrac{t}{2}+\tfrac{1}{4} + C\,e^{-2t}.

Passo 5

Aplicando y(1)=1:
1 = \tfrac{1^2}{2}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4} + C\,e^{-2} = 0 + \tfrac{1}{4} + C\,e^{-2} \quad\Longrightarrow\quad C\,e^{-2} = \tfrac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{3}{4}e^2.

Resposta

y(t) = \frac{t^2}{2} - \frac{t}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}e^{2-2t}.

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