Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=x^{4} e y=x^{2}(0,3 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x^4
e
y = x^2.
O tema é cálculo de áreas por integrais definidas. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
  2. Determinar qual delas fica por cima no intervalo entre essas interseções.
  3. Montar e calcular a integral definida da diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar os pontos em que as curvas se encontram, igualamos
x^4 = x^2
x^2\,(x^2 - 1) = 0
Logo as soluções são
x = 0,\quad x = 1,\quad x = -1.
No esboço, ambas passam por (0,0), (1,1) e (-1,1). A parábola y=x^2 é mais “aberta” que y=x^4, que fica mais próxima do eixo x para |x|<1.

Passo 3

Para -1 \le x \le 1 temos
x^2 \ge x^4,
ou seja, y=x^2 é a curva superior e y=x^4 a inferior. A área procurada é
A = \int_{-1}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx.

Passo 4

Como a função x^2 - x^4 é par, usamos simetria:
A = 2\int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx.
Calculando a primitiva,
\int \bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + C.
Logo
A = 2\Bigl[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} = 2\Bigl(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\Bigr) = 2\cdot \frac{2}{15} = \frac{4}{15}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{4}{15}.

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