Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e relevantes:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
por . - Trata-se de uma integral indefinida, portanto a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia central (sem resolver ainda): observar que dentro do parênteses aparece a função
e que multiplicando ela aparece
. Isso sugere fazer uma substituição que transforme a integral em uma integral polinomial simples. Agora sim vamos executar isso.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Agora calcule
. Como
é função de
,
Portanto
. Note que isso encaixa exatamente com o fator extra do integrando.
Passo 4
Reescrever a integral em
. Substituindo
e
na integral original obtemos
Aqui a integral ficou muito mais simples: é a integral de uma potência.
Passo 5
Calcular a integral em
usando a regra da potência. Para
vale
Aplicando com
,
Passo 6
Voltar para a variável
substituindo
. Assim
Essa é a primitiva procurada.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança): derive
. Pela regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Perfeito!
Passo 8
Observação geral útil para a prova: para qualquer
,
porque a mesma substituição
funciona.