Calcule as integrais abaixo:
\int\left(e^{x}+1\right)^{3} e^{x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int\left(e^{x}+1\right)^{3} e^{x}\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é o produto de \left(e^{x}+1\right)^{3} por e^{x}.
  • Trata-se de uma integral indefinida, portanto a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia central (sem resolver ainda): observar que dentro do parênteses aparece a função e^{x}+1 e que multiplicando ela aparece e^{x}\,dx. Isso sugere fazer uma substituição que transforme a integral em uma integral polinomial simples. Agora sim vamos executar isso.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = e^{x}+1.
Agora calcule du. Como u é função de x,
du = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+1\bigr)\,dx = e^{x}\,dx.
Portanto e^{x}\,dx = du. Note que isso encaixa exatamente com o fator extra do integrando.

Passo 4

Reescrever a integral em u. Substituindo u e du na integral original obtemos
\int\left(e^{x}+1\right)^{3} e^{x}\,dx = \int u^{3}\,du.
Aqui a integral ficou muito mais simples: é a integral de uma potência.

Passo 5

Calcular a integral em u usando a regra da potência. Para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=3,
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x substituindo u=e^{x}+1. Assim
\frac{u^{4}}{4}+C = \frac{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{4}}{4}+C.
Essa é a primitiva procurada.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança): derive \dfrac{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{4}}{4}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{4}}{4}\right) = \frac{1}{4}\cdot 4\bigl(e^{x}+1\bigr)^{3}\cdot e^{x} = \bigl(e^{x}+1\bigr)^{3}e^{x},
que é exatamente o integrando original. Perfeito!

Passo 8

Observação geral útil para a prova: para qualquer n\neq -1,
\int\bigl(e^{x}+1\bigr)^{n}e^{x}\,dx = \frac{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{n+1}}{n+1}+C,
porque a mesma substituição u=e^{x}+1 funciona.

Resposta

\displaystyle \frac{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{4}}{4}+C

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